Simetrias numéricas

Quando se trabalha com números, depara-se com certas propriedades curiosas, sendo interessante buscar, em sala de aula, a verdadeira natureza dessas propriedades, mostrando como se obtêm os resultados anunciados.
A propriedade numérica aqui salientada é a relação entre um número e outro formado pela permutação de seus algarismos.
Para ilustrar o assunto, basta observar aquele famoso número 142 857, período da fração 1/7, e seus múltiplos, mostrados na tabela, todos formados por permutações de seus algarismos. O leitor interessado poderá encontrar uma justificativa para esse resultado na revista Eureka!, número 1, pp. 38, 39 e 40.

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 6 = 857142

Mais intrigante é a brincadeira: tome um número qualquer de três algarismos tal que a diferença entre o algarismo das centenas e o das unidades seja maior que 1. Escreva o número na ordem inversa e do maior subtraia o menor; em seguida some ao resultado o próprio resultado em ordem inversa.
Então o professor se deleita ao proferir o número 1 089, ou o quadrado de 33, para os mais versados.
Exemplos:

715 - 517 = 198

922 - 229 = 693

198 + 891 = 1089

693 + 396 = 1089

Vejamos uma justificativa do por que isso acontece.
Denotamos o número de três algarismos por abc, abc = 100a + 10b + c, com c - a > 1. O segundo número é sempre maior do que o primeiro porque c > a, portanto devemos fazer (100c + 10b + c) - (100a + 10b + c):
Começando fazer a subtração, como a < c temos que "emprestar" 10 do 10b, ficando
Continuando a subtração, temos que "emprestar" 100 do 100c, ficando

Observe que 10 + a - c e c - a - 1 estão estritamente entre 0 e 9, portanto são, respectivamente, o algarismo das unidades e das centenas da diferença. Efetuando a soma indicada, obtemos:

mostrando que a soma sempre é 1089.